高速数据转换器设计（一）：简介

【注：本文基于《高速数据转换器设计》一书进行学习、总结编撰，适合新手小白进行学习】

1.1 理想数据转换器

1.2 采样操作

1.2.1 冲激采样

1.2.2 采样-保持(S-H)

1.2.3 跟踪-保持

1.2.4 带通采样定理

1.3 信号重构

1.4 量化

1.4.1 量化器

1.4.2 量化误差（量化噪声）

1.4.3 信号与量化噪声比（SQNR）

位数与SQNR的关系

位数与SFDR关系

改善量化过程带来的杂散幅度的影响以及类似的非线性影响

1.5 编码

1.6 欠采样和过采样

采样率与SNR关系

1.7 抽取和内插

1.7.1 抽取

例1

例2

1.7.2 内插

1.1 理想数据转换器

AD转换过程分为两个操作：采样、量化

采样-保持（S/H）电路（跟踪保持电路）：连续时间模拟信号→离散时间信号

量化器：离散时间信号→离散时间离散幅度的信号，或数字信号

DA转换：数字码→量化的模拟信号（一般是脉冲串），构成采样保持形式的数字信号→通过补偿滤波器消除模拟信号的失真

1.2 采样操作

1.2.1 冲激采样

时域采样定理、奈奎斯特频率可参考ADC入门准备（八）：信号与系统知识回顾-CSDN博客

1.2.2 采样-保持(S-H)

信号在nTs时刻被采样，然后在此后的Ts时间内保持不变，直到下一个采样时刻(n+1)Ts。

视为理想采样信号（冲激信号）与门脉冲的卷积。

1.2.3 跟踪-保持

可理解为前半周期为矩形脉冲采样，后半周期为采样-保持。

ADC对模拟信号的测量（采样）操作实际上是发生在采样开关断开的时候，这时 ADC 的输出端输出数字形式的一串采样数值(也就是一串脉冲)。尽管模拟采样信号通常会被保持一段时间以便于后续的电路进行处理，但是在离散时间(也就是数字域)上它们被标示为在固定时间间隔Tₛ下对保持的信号的快拍测量。所以在ADC 中，采样后的离散时间信号域上通过冲激采样的信号，而不是一个采样-保持信号。

为防止采样后发生混叠，必须保证被采样信号是一个带限信号。一般会在ADC前面放一个抗混叠滤波器，以限制信号带宽。

1.2.4 带通采样定理

奈奎斯特采样：采样频率不低于信号最高频率的2倍， $f_{s}\geqslant 2B$

带通采样：

若信号的最高频率 $f_{H}=kB$ ，其中k若为整数，则采样频率最低可以 $f_{s}= 2B$ ；若k不是整数，那么 $f_{s}> 2f_{H}/m$ ，其中 $m\leqslant f_{H}/B$ 的最大整数。

详细参考：由奈奎斯特采样定理理解带通采样定理_在声音编码过程中,根据奈奎斯特采样定理,如果以一定时间间隔对某个信号进行采样时-CSDN博客

1.3 信号重构

DAC：从离散时间信号恢复到连续时间信号

重构滤波器：脉冲串经过一个增益为Ts、截止频率为fc的理想低通滤波器（LPF）恢复成一个连续时间信号。

然后理想LPF并不是物理可实现的，所以实际的恢复信号将含有一些失真。为了减少滤波器特性带来的失真，需要在零阶保持重构滤波器后加上一个重构补偿滤波器，使得两者综合性能与理想重构滤波器特性相同。

这个理想补偿滤波器包含一个Ts/2的时间提前作用，以补偿零阶保持滤波器带来的延迟。这种“时间提前系统”是物理不可实现的，因而它往往被忽略。所以补偿滤波器只处理幅频特性。如果信号带宽远小于奈奎斯特频率，就没有必要使用幅频补偿滤波器了。如果不是这样，或者对精度有很高的要求，就有必要使用补偿滤波器。这个滤波器也可以在D/A转换之前的离散时间域(或者数字域)里实现，去提前补偿用于将离散时间信号转换为连续时间信号的零阶保持滤波器。

1.4 量化

1.4.1 量化器

量化器：将信号的连续幅度转换到离散的数值上

理想的量化功能：非线性、不可逆的函数，会导致不可恢复的信息损失→导致噪声和失真

L级N位量化器： $N=\log_{2} L$

量化步长： $\Delta =\frac{V_{FS}}{2^{N}}=\frac{2V_{Ref}}{2^{N}}$

“中间上升型”和“中间平坦型”转换器的区别：在输出0电平时有没有发生跃变。

“中间平坦型”转换器，当输入为0电平点时没有对称性，或者说需要奇数个比较电平以保持对称性。优点：可以在没有输入信号时减少由于噪声在输出端导致的“乱颤”。

当输入为0电平点时，没有对称性：这意味着当输入信号正好在ADC的中间点（即0电平点或参考电平）时，ADC的正负输入范围并不是完全对称的。这是因为中间平坦型ADC的转换特性在0点附近可能不会完全对称。

需要奇数个比较电平以保持对称性：为了确保ADC在整个输入范围内都有相同的分辨率，并且保持对称性，可能需要设置奇数个比较电平。通常，如果使用偶数个比较电平，0电平点将位于两个比较电平之间，导致在0点附近的正负输入范围不对称。通过使用奇数个比较电平，可以确保0电平点正好对应一个比较电平，从而在整个输入范围内提供对称的分辨率。

1.4.2 量化误差（量化噪声）

在量化过程中导致的固有信息损失。

假设量化步长Δ足够小，量化误差的概率密度函数在量化步长Δ内均匀分布（从-Δ/2}到Δ/2，概率密度函数p(e)可以表示为

量化噪声功率

1.4.3 信号与量化噪声比（SQNR）

对于一个幅度为VFS/2的满量程正弦输入信号

输入信号功率Ps为

而信号与量化噪声比(signal-to-quantization noise ratio,SQNR)定义为

得到

故

式中，N为量化比特数。如果用分贝来表示SQNR，定义

$SQNR(dB)= 10\log\left(\frac{P_s}{P_q}\right) \quad$

得到

$SQNR(dB)=10\log\left(\frac{3 \times 2^N}{2}\right) =2N\log_2 + 10\log\left(\frac{3}{2}\right)\\=6.02\times N+1.76dB$

假如输入信号是一个零均值、标准差为1/4ADC满幅值的高斯分布的噪声的时候，信号功率Ps为

$P_s = \frac{V_{FS}^2}{16}$

得到

$SQNR(dB)= 6.02 \times N - 1.25 \, \text{dB}$

位数与SQNR的关系

量化位数每多1bit，SQNR增加6dB。量化位数每提高1bit，量化误差的幅度就降低一倍，量化误差功率自然减低4倍，因此在SQNR上提高6dB。（看上面量化误差的锯齿图）

量化噪声不是一个白噪声。对于量化噪声特性而言，除了在量化步长内均匀分布，噪声在奈奎斯特频带内一定不是白色的。量化器的量化过程产生的噪声与输入信号相关，它会在输出信号频谱中产生杂散和谐波，理想量化器也不例外。

对ADC线性度的频域度量一般是通过无杂散动态范围（spurious-free dynamic range,SFDR）描述，它定义为信号的功率与最高的杂散/谐波功率的比值。

杂散：在信号频谱上出现的尖刺状干扰分量。

理想量化过程下的SFDR可以近似表示为：

$SFDR(dBFS)\approx 9N-c$

c是一个范围为0（低分辨率情况下）~6（高信噪比情况下）的常数。

位数与SFDR关系

对ADC线性度的频域度量一般是通过无杂散动态范围（spurious-free dynamic range,SFDR）描述，它定义为信号的功率与最高的杂散/谐波功率的比值。

量化位数每提高1bit，SFDR提高9dB。SFDR取决于出现在基波的2^π倍的基差谐波分量。另外，低阶谐波通常为9N dBFS。

量化位数每提高1bit，量化误差的幅度就降低一倍，量化误差功率自然减低4倍，因此在SQNR上提高6dB。如果没有其他因素影响，杂散的功率也应该降低6dB。因为谐波数目增加一倍同时会导致量化误差函数中的锯齿段数增加一倍，这将导致谐波数目增加一倍。因为谐波数目翻倍的同时总功率降低了4倍，每个谐波的功率大约降低2倍（3dB），上面两个因素综合导致每量化位数带来9dB/量化的杂散功率改善，对SFDR也是如此。

改善量化过程带来的杂散幅度的影响以及类似的非线性影响

关健在于降低总功率，以及同时增加量化误差曲线的锯齿段的数量。也就是说，必须增加量化位数。锯齿段数的增加会将杂散失真功率分散到更多的谐波中，由此降低了谐波的幅度。

1.5 编码

采样和量化完成后，ADC 的输出可以编码为多种格式，如二进制码、偏移二进制码、补码、格雷码或其他需要的格式。一般情况下可以通过直接数字方式产生不同的数字编码。另外也可以在输出部分加上数字信号处理过程来实现各种函数。

1.6 欠采样和过采样

输入信号处于直流到fs/2频率区间（即第一奈奎斯特域）：可以通过一个截止频率小于奈奎斯特频率的LPF实现抗混叠功能。

由于理想LPF无法实现，信号的最高频分量必须小于奈奎斯特频率（通常是fs的2/3或1/2）以适应实际滤波器过渡带的滚降特性。

欠采样：输入信号落在处于fs/2到fs区间的第二奈奎斯特域。可以用一个下图所示的带通滤波器进行抗混叠滤波。只要信号的带宽B小于fs/2且满足带通采样定理就不会产生混叠。可以从采样信号中恢复原信号。

在对IF和RF的采样中，信号的带宽小于奈奎斯特带宽，但是中心频率可能比奈奎斯特频率大得多。这些情况下都可以采用欠采样。所以在 ADC的采样电路设计中，必须考虑其带宽大于奈奎斯特带宽的情况。

过采样：采样率比信号带宽的2倍（2B）大得多。

如果使用得当过采样可以简化抗混叠滤波系统设计、频率划分成本性能等方面的难度。过采样率（OSR）定义为

$OSR=\frac{f_{s}}{2B}$

过采样的优点之一是可以通过数字滤波器减少系统的噪声，滤除无用的信号分量和谐波。例如，假设ADC的输出中，在奈奎斯特频带内存在均匀分布的自噪声，通过过采样的数字滤波进行噪声特性改善，可以取得信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)上的处理增益(proceesing gain, PG)。

$PG(dB)=10\log OSR$

在小于奈奎斯特频率的带宽B内的信噪比(SNR_B)相对于整个奈奎斯特域上的信噪比(SNR_Nyq)的改善程度可以表达为

$SNR_{B}=SNR_{Nyq}+10\log OSR$

或者

$SNR_{B}=SNR_{Nyq}+3\log_{2}OSR$

采样率与SNR关系

所以，通过过采样和适当的数字滤波，每增加1倍采样率，ADC的SNR可以改善3dB。此外，对于一些无用的谐波或杂散噪声，如果它们落在信号带宽以外，也可以通过数字处理器滤除，这也可以改善SFDR。

1.7 抽取和内插

抽取（降采样）：降低采样速率。抽取可以压缩数据量。
内插（升采样）：提高采样率。内插则增加数据量。

1.7.1 抽取

对抽样信号的降采样可以通过在一个降低的速率上对信号进行重新采样完成。如果将信号x[n]的采样频率降低M，可以得到一个新的降采样后的离散时间信号xd[n]

$x_{d}\left[n\right]=x_{s}\left[nM\right]=x\left(nMT_{s}\right)$

这是一个在新的采样周期 $T_{d}=MT_{s}$ 下得到的新的采样信号，其采样频率为 $f_{d}=f_{s}/M$ 。所以在频域上，如果原来的采样信号的频谱为

$X_{s}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega}\right)=\frac{1}{Ts}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{\mathrm{j}\omega}{T_{s}}-\frac{\mathrm{j}2\pi k}{T_{s}}\right)$

那么降采样后信号的频谱为

$X_{s}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega}\right)=\frac{1}{Td}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X\left(\frac{\mathrm{j}\omega}{T_{d}}-\frac{\mathrm{j}2\pi k}{T_{d}}\right)$